%\documentclass[windows,csize4]{BHCexam}
\documentclass[windows,csize4,answers]{BHCexam}

\usepackage{multicol} % 分栏
\usepackage{polynom} % 多项式除法
\pagestyle{fancy}
\fancyfoot[C]{\kaishu \small 第 \thepage 页 共 \pageref{lastpage} 页}
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\title{整式综合2}
%\subtitle{数学文科试卷}
%\notice{满分150分, 120分钟完成, \\	允许使用计算器，答案一律写在答题纸上.}
%\author{Gavin Chen}
%\date{\today}
\usepackage{enumerate} % 编号
\usepackage{cases}

\begin{document}

\maketitle

\begin{groups}

    \group{对整式综合2}{}
    \begin{questions}[]

        \question[5]  在三角形$ABC$中，$a^2-16b^2-c^2+6ab+10bc=0$，其中$a,b,c$是三角形的三个边，求证：$a+c=2b$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 证明：将原等式的左边部分用双十字相乘进行因式分解（注意$ac$项系数为$0$） \\
            \[
                \begin{aligned}
                     & \phantom{=} a^2-16b^2-c^2+6ab+10bc \\
                     & = (a+8b-c)(a-2b+c)
                \end{aligned}
            \]
            当然也可以采用主元法因式分解
            \[
                \begin{aligned}
                     & \phantom{=} a^2-16b^2-c^2+6ab+10bc \\
                     & = a^2+6ab-(8b-c)(2b-c)             \\
                     & =[a+(8b-c)[a-(ab-c)]               \\
                     & = (a+8b-c)(a-2b+c)
                \end{aligned}
            \]
            所以可以得到$a+8b-c=0$或者 $a-2b+c=0$。\\
            考虑到$a,b,c$是三角形三边，而三角形两边之和大于第三边，故而$a+8b-c\neq 0$，所以可以得到$a+c=2b$.
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5]  已知$a^2b+ac^2+b^2c=b^2a+bc^2+a^2c$，求$(a-b)(b-c)(c-a)$的值。
        \begin{solution}{0.5cm}
            \method
            \[
                \begin{aligned}
                     & a^2b+ac^2+b^2c=b^2a+bc^2+a^2c,         \\
                     & (a^2b-a^2c)+(b^2c-c^2b)+(c^2a-b^2a)=0, \\
                     & a^2(b-c)+bc(b-c)-a(b+c)(b-c)=0,        \\
                     & (b-c)[(a^2-ab)+(bc-ac)]=0,             \\
                     & (b-c)(a-b)(a-c) =0
                \end{aligned}
            \]
            \method 将原方程可化为
            \[
                a^2b+ac^2+b^2c-(b^2a+bc^2+a^2c)=0
            \]
            其等式左边是一个轮换式，且有因式$a-b$，故而也有因式$b-c$和$c-a$,即
            \[
                a^2b+ac^2+b^2c-(b^2a+bc^2+a^2c)=(a-b)(b-c)(c-a)=0
            \]
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}


        \question[5]  解方程$(16x+27)^2(8x+15)(2x+3)=7$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 方程两边都乘以$16$
            \[
                \begin{aligned}
                    (16x+27)^2(8x+15)(2x+3)                 & =7         \\
                    (16x+27)^2[2\cdot(8x+15)][8\cdot(2x+3)] & =16\cdot 7 \\
                    (16x+27)^2(16x+30)(16x+24)              & =112
                \end{aligned}
            \]
            换元法设$16x+27=t$得到
            \[
                \begin{aligned}
                    t^2(t+3)(t-3)   & =112 \\
                    t^4-9t^2-112    & =0   \\
                    (t^2-16)(t^2+7) & =0
                \end{aligned}
            \]
            由于$t^2\ge 0$， 故而$t^2=16$，即$t=\pm 4$ \\
            还原成$x$，得到$x=-\frac{23}{16}$或者$x=-\frac{31}{16}$
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 已知$a,b,c,d$满足 $a+b=c+d$，$a^3+b^3=c^3+d^3$，求证：$a^{2021}+b^{2021}=c^{2021}+d^{2021}$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 显然不是直接求值的。
            由$a+b=c+d$ 可以得到$(a+b)^3=(c+d)^3$故而
            \begin{equation}
                \label{eq:5_1}
                a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=c^3+3c^2d+3cd^2+d^3
            \end{equation}
            减去$a^3+b^3=c^3+d^3$得到
            \begin{equation}
                \label{eq:5_2}
                ab(a+b)=cd(c+d)
            \end{equation}
            分类讨论： \\
            若$a+b=c+d=0$，则$a=-b,c=-d$，显然
            \[
                a^{2021}+b^{2021}=c^{2021}+d^{2021}=0
            \]
            若$a+b=c+d\neq 0$由\ref{eq:5_2}式可得
            \begin{equation}
                \label{eq:5_3}
                ab=cd
            \end{equation}
            从而
            \[
                (a-b)^2=(a+b)^2-4ab=(c+d)^2-4cd=(c-d)^2
            \]
            故而
            \begin{equation}
                \label{eq:5_4}
                a-b=c-d
            \end{equation}
            或者
            \begin{equation}
                \label{eq:5_5}
                a-b=d-c
            \end{equation}
            若\ref{eq:5_4}成立，在和$a+b=c+d$相加得到$a=c,b=d$； \\
            若\ref{eq:5_5}成立，在和$a+b=c+d$相加得到$a=d,b=c$。两者都容易得到
            \[
                a^{2021}+b^{2021}=c^{2021}+d^{2021}
            \]
            证毕
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5]  证明：$(b+c-2a)^3+(c+a-2b)^3+(a+b-2c)^3=3(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c)$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 此题从左往右或者从右往左证明都不容易。但是考虑到欧拉公式的形式，可以通过左边-右边$=0$来证明
            \[
                \begin{aligned}
                    &\phantom{=}(b+c-2a)^3+(c+a-2b)^3+(a+b-2c)^3-3(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c) \\ 
                    &=[(b+c-2a)+(c+a-2b)+(a+b-2c)][\cdots] \\ 
                    &=0
                \end{aligned}
            \]
            所以左边$=$右边，证毕。

        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5]  已知$x+y+z=3$，且$(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$，求证$x,y,z$中至少有一个为$1$.
        \begin{solution}{0.5cm}
            \method 看到三个三次方的和联想到欧拉公式。
            \begin{equation}
                x+y+z=3
            \end{equation}
            得到
            \begin{equation}
                (x-1)+(y-1)+(z-1)=0
            \end{equation}
            设$x-1=p,y-1=q,z-1=r$，那么
            \begin{equation}
                \label{eq:6_1}
                p^3+q^3+r^3-3pqr=(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp)
            \end{equation}
            等式左边为$-3pqr$，右边为$0$。 \\ 
            故而$p,q,r$中至少一个为$0$，即$x,y,z$中至少有一个为$1$。
            \method 由$(x-1)+(y-1)+(z-1)=0$可得
            \[
                x-1=-(y-1)-(z-1)    
            \]
            代入可得
            \[
                \begin{aligned}
                    &\phantom{=}(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3 \\ 
                    &=-[(y-1)+(z-1)]^3+(y-1)^3+(z-1)^3 \\ 
                    & = -3(y-1)^2(z-1)-3(y-1)(z-1)^2 \\ 
                    &-3(y-1)(z-1)[(y-1)+(z-1)] \\ 
                    &=3(y-1)(z-1)(x-1) =0
                \end{aligned}
            \]
            故至少由一个项为$0$，即$x,y,z$中至少有一个为$1$。
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5]  设$x^3+mx^2+nx+r$是关于$x$的一次式的完全立方，求证：$3mr=n^2$。
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 最高次想系数为$0$，考虑采用待定系数法，设一次项为$x+k$，所以可以得到
            \[
                \begin{aligned}
                    x^3+mx^2+nx+r &= (x+k)^3 \\ 
                    x^3+mx^2+nx+r &=x^3+3x^2k+3xk^2+k^3 
                \end{aligned}    
            \]
            \begin{equation}
                \label{eq:8_1}
                \begin{cases}
                    m=3k \\
                    n=3k^2 \\ 
                    r=k^3
                \end{cases}
            \end{equation}
            由上述方程组可得$3mr=9k^4=(3k^2)^2=n^2$，证毕。
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5]  已知$a,b,c$两两不相等，并且$a^2+b^2+mab=b^2+c^2+mbc=c^2+a^2+mca$。
        \begin{subquestions}
            \subquestion  求$m$的值;
            \begin{solution}{0.5cm}
                \methodonly 因为
                \begin{equation}
                    \label{eq:7_1}
                    a^2+b^2+mab=b^2+c^2+mbc
                \end{equation}
                由\ref{eq:7_1}可以得到
                \begin{equation}
                    \label{eq:7_2}
                    \begin{aligned}
                        a^2-c^2+mab-mbc&=0 \\ 
                        (a+c)(a-c)+mb(a-c)&=0 \\ 
                        (a-c)(a+c+mb)&=0
                    \end{aligned}
                \end{equation}
                因为$a\neq c$所以可以得到
                \begin{equation}
                    \label{eq:7_3}
                    a+c+mb=0   
                \end{equation}
                同理，$b+a+mc=0, c+b+ma=0$。任意两式相减即可得到$m=1$。
            \end{solution}
            \subquestion 证明：$a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+mab)$.
            \begin{solution}{0.5cm}
                \methodonly 等式左边有$c$而右边没有，所以考虑把$c$替换掉。\\ 
                由\ref{eq:7_3}式和$m=1$得以得到$a+b=-c$。所以
                \begin{equation}
                    \label{eq:7_4}
                    \begin{aligned}
                    &\phantom{=}a^2+b^2+c^2  \\ 
                    &=a^2+b^2+(a+b)^2 \\ 
                    &=2(a^2+b^2+ab)
                    \end{aligned}
                \end{equation}
                由于$m=1$，故左边$=$右边，证毕。
            \end{solution}
        \end{subquestions}
        \vspace{3.5cm}


        \question[5]  已知$m^2+n^2=1, p^2+q^2=1, mp+nq=0$，求证：$m^2+p^2=1,n^2+q^2=1,mn+pq=0$。
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 分析：由$mp+nq=0$可以得到$nq=-mp$，变形$\frac{q}{m}=-\frac{p}{n}$，连比的可以用设$k$法，这样替换后都变成$m,n,k$的方程。
            同时由于化成分式形式，故而需要考虑分母为$0$的情况。\\ 
            解：若$m,n$中有一个为$0$, 由于对称性，不妨设$m=0$，那么容易得到$n^2=1, q=0, p^2=1$，代入可证。\\ 
            现在考虑$m,n$均不为$0$的情况。设$q=mk, p=-nk$，那么容易得到
            \[
                \begin{aligned}
                    p^2+q^2&=1 \\
                    k^2(m^2+n^2)&=1 \\
                    k^2&=1
                \end{aligned}
            \]
            所以
            \[
                \begin{aligned}
                    &\phantom{=}m^2+p^2 \\
                    &=m^2+k^2n^2 \\
                    &=m^2+n^2=1 
                \end{aligned}
            \]
            \[
                \begin{aligned}
                    &\phantom{=}n^2+q^2 \\
                    &=k^2m^2+n^2 \\
                    &=m^2+n^2=1 
                \end{aligned}
            \]
            \[
                \begin{aligned}
                    &\phantom{=}mn+pq \\
                    &=mn-k^2(mn) \\
                    &=mn-mn=0 
                \end{aligned}
            \]
            证毕。

        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5]  设$x+y+z=xyz$，求证：$x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-z^2)(1-x^2)+z(1-x^2)(1-y^2)=4xyz$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 此题左边为五次，右边三次，没有简便方法。只能代入计算。
            由$x+y+z=xyz$，可得$x+y=xyz-z$，同理$y+z=xyz-x, z+x=xyz-y$。将左边展开后慢慢替换向$xyz$形式靠拢
            \[
                \begin{aligned}
                    &\phantom{=}x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-z^2)(1-x^2)+z(1-x^2)(1-y^2) \\
                    &=x(1-y^2-z^2+y^2z^2)+y(1-z^2-x^2+z^2x^2) +z(1-x^2-y^2+x^2y^2) \\
                    &=(x+y+z)-xy^2-xz^2+xy^2z^2-yz^2-yx^2+yz^2x^2-zx^2-zy^2+zx^2y^2 \\ 
                    &=xyz-xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z+x)+xyz(yz+zx+xy) \\ 
                    &=xyz-xy(xyz-z)-yz(xyz-x)-zx(xyz-y)+xyz(yz+zx+xy) \\ 
                    &=xyz+xyz+yzx+zxy \\ 
                    &=4xyz
                \end{aligned}
            \]
            证毕.
        \end{solution}


    \end{questions}
\end{groups}



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\end{document}